數控機床要求較高運動精度，其故障信息的載體與一般機械有所不同。大量診斷實例表明，從加工零件的質量上分析機床的運行狀態，是診斷機床的主要思路。主軸是數控機床的關鍵部件，其運動精度直接影響工件的加工質量。當主軸不平衡運行時，產生的往復慣性力使軸瓦與主軸頸在油膜壁*薄處發生撞擊，引起機床主軸的運動誤差。主要包括主軸的純徑向跳動D、純角度擺動和純軸向竄動L。

 

　　時間序列分析法是以模式識別理論為基礎，將動態過程為隨機的復雜系統抽象為簡單物理模型以便于實際系統運行狀態的監測與診斷。現有文獻大部分都是基于一維時間序列進行討論，但對于許多實際問題，僅考慮一個因素并不能夠充分揭示系統內部規律。為進一步解釋各相關物理量對系統的影響關系，提高模型擬合精度，可引入多維時間序列模型。本文將多維時間序列應用于工件表面粗糙度Ra監測，分析了D、、L與Ra之間的影響關系。

 

　　1時序模型的選擇常用時序模型有自回歸模型（AR）、滑動平均模型（MA）以及自回歸滑動模型（ARMA ）。后兩類模型都可以用高階的AR模型來逼近，其逼近程度取決于所取的自回歸模型的階次。由于AR模型的參數估計為線性回歸過程，其計算簡單、速度快，實際物理系統也往往是全極點系統，因此， AR模型的應用廣泛，特別適用于機械故障診斷中。

 

　　對于AR模型討論的前提是假設所獲得的時間序列是平穩、正態分布的序列。但當機床運轉處于某種隱患并且情況在不斷惡化時，通過傳感器得到的數據將是不平穩時間序列，含有某種隨時間穩定發展的趨勢。對于非平穩時序經過若干階差分變換可以得到平穩時間序列，然后對其進行ARMA建模。為此提出非平穩時間序列ARIMA模型。

 

　　1 1 AR IMA模型ARIMA模型是平穩時間序列在非平穩狀態下的拓展，它與非平穩序列{X t }密切相關， AR IMA模型經過有限次差分（ Y t = （ 1- B ）d X t， B為后移算子）后，{ Y t }即為ARMA序列。

 

　　適合ARIMA模型建模的數據具有緩慢衰變的正樣本自相關系數函數的特征；經過差分變換后，適合ARMA建模的數據應具有快速下降的樣本自相關系數函數的特征。

 

　　1 2多維AR模型概念從一維AR模型的概念出發可以定義多維AR模型。多維AR模型可以擬合多數實際情況，因為它可以逼近多維ARMA模型。設有m維的AR（ p）模型：z t = A 1 z t- 1 + A 2 z t- 2 + + A p z t- p + u t（1）式中： z t是m 1維零均值平穩序列；A j（ j = 1， 2，， p）是m m矩陣，其中A p 0； { u t }是m維白噪聲序列，在不同時刻彼此無關，即E < u t > = 0 E < u t u T s > = S，t= s 0，t s（2）式中：S是m m階正定陣，且E < u t z t- j > = 0（ j = 1，2，）。則多變量平穩的條件： det p i= 0 A i B i = 0的根全在單位圓外。如果{ z t }滿足式（1）及平穩性條件，則{ z t }就稱為m維AR（p ）序列。

 

　　2多維AR模型的建立2 1數據采集通過傳感器得到的振動、轉角信號都是連續信號，而建立時序模型需要對連續信號進行離散采樣。

 

　　因此首先要確定采樣間隔。若采樣間隔不合理，則會產生不同頻率諧波的混迭。當取得過大，采樣數據將丟失觀測信號中原有的相關關系，以致模型發生降階，降低信號分辨率；當取得過小時，又會將高頻噪聲作為有用信號計入，使模型發生升階，造成計算量增大。采用香農采樣定理：當采樣頻率f s高于諧波的*高頻率f max的2倍時，即可避免頻混，為此常取= 1/2 5f m ax進行采樣。

 

　　2 2多維AR模型的參數估計AR模型的參數估計法常用直接估計法，其中包括YuleW alker估計法和*小二乘估計法。相關矩估計方法是時間序列模型參數估計*常用的方法，它是建立在Y W方程基礎上的。雖然該方法的估計精度沒有*小二乘法那樣高，但其計算簡便實用。特別是對于具有正態特性的時間序列，在樣本數據足夠多的情況下，其估計精度可以與*小二乘估計法相當。本文采用選擇Y W估算法。這就得到A j（ j = 1， 2，，p ）的矩估計。從理論上可知YuleW alker矩估計量有很多優點，如正定性、漸近無偏性、弱相容性和漸近正態性。

 

　　3多維AR模型定階的FPE準則FPE準則（*小*終預報誤差準則）是由樣本對模型定階。它是以模型輸出的一步預報誤差方差來判定模型階次：一步預報誤差方差陣的行列式越小，就認為模型擬合得越理想，這時的模型階次認為是*佳的階次。

 

　　由樣本長度為N的m維觀測數據所擬合的AR（p）模型見式（1）。^ T i（8）需要說明，如果FPE p（z t）的值隨p的增大而單調上升，則可判定模型為一階自回歸模型；如果FPE p（z t）的值隨p的上升而單調減小，則樣本序列不能用AR模型來描述；若隨p值增加FPE p（z t）的值上下劇烈跳動，可增大樣本長度再進行定階。

 

　　為了考察m維序列的規律能否由其部分分量，如前q個分量（ q< m ）來充分描述系統特征，進一步引入*終預報誤差方差的子方陣，其行列式FPE p， q， m（ z t）^ T i的左上角q階子方陣。如果m inFPE p， q， m（ z t） %m inFPE p， q， q（ z t），則認為僅考察前q維序列就行了，考察m維序列并未比僅考慮前q維序列帶來顯著好處，因此可以排除次要因素，集中于主要因素的監測診斷；反之如果m inFPE p， q， m（z t）< m inFPE p， q， q（z t），則必須全面考察m維序列，才能獲得對系統的全面了解。這也為如何建立多維序列模型提供了具體方法。

 

　　4算例研究本文以某數控車床加工工件的表面粗糙度Ra、車床主軸的純徑向跳動D、純角度擺動和純軸向竄為對象建立初始四維AR模型。其中，機床設計主軸的*高工作轉速為15 000r /m in.樣本數N為500.則非平穩時間序列處理步驟如下：（1）觀測上述四維非平穩觀測值前480個樣本序列{X t }， {X t } = （ Ra，D， ，L）T，其中{Ra }，{ D }原始數據如所示。對數據進行一次差分以后得到平穩序列{ Y t }， { Y t } = （ 1- B ） {X t }.{R a t }經一次差分后所得時間序列，一次差分后所得到的自相關系數，圖中顯示有顯著下降的趨勢，說明經過差分變換的序列已符合ARMA建模的條件。然后對{ Y t }進行標準正態處理： z t = （ Y t - % y） / y，式中， % y為序列{ Y t }的均值， y是{ Y t }的均方差。進而，對{ z t }進行多維AR建模，由Y t =y z t + % y，逆變換得到時序{ Y t }，*終反變換得到序列{X t }.

 

　　（2）由多維YuleW alker算法依次估計四維模型AR（p） （其中p = 1， 2，）的參數，在此基礎上計算各階模型的FPE值，定出模型*佳階次。本文計算了10階AR模型的FPE值，當AR（6）時FPE值*小，可知此四維AR模型*佳階次為6，依此建立四維AR（6）模型。

 

　　（3）分析各相關物理量對表面粗糙度的影響程度。

 

　　看出FPE 6， 1， 2 < FPE 6， 1， 1，則認為純徑向跳動對加工工件表面粗糙度的影響較大； FPE 6， 2， 3 < FPE 6， 2， 2，則認為純角度擺動對工件表面粗糙度也是重要的； FPE 6， 3， 4 > FPE 6， 3， 3，則可認為主軸的純軸向竄動產生的運動誤差對加工工件表面的幾何形狀基本沒有影響，這與實際理論也是相符合的。依此結論，可知在建立機床主軸診斷的多維AR模型時，僅需考慮Ra，D，三個關鍵因素。

 

　　（4）根據上述觀點，建立{ Ra，D，} T三維AR （6）模型。依據此模型監測并預報了序號480以后的20個Ra值，其結果如。從預測結果來看，使用AR （6）模型預測其*大相對誤差為8 7% ，*小僅為1 76% ，且基本吻合實測值發展趨勢，說明多維AR模型用于分析機床主軸部件故障是合理的。

 

　　5結論本文通過對工件表面粗糙度這一信息載體，研究了機床主軸各運動誤差對其影響程度。在此基礎上建立了基于非平穩序列的多維AR模型，給出了從原始數據獲取到模型建立的理論依據。同時，依據FPE準則，辨識出引起系統故障的主要因素，避免了次要因素的干擾。從而簡化了建模的難度與工作量。通過實例計算，證明基于非平穩序列的多維AR模型符合機床故障診斷要求，預測精度滿足要求。